HIDRODINAMICA

Ecuación de continuidad

 

Ejemplo

 

 

 

 

Sin tomar en cuenta el cambio de las dimensiones de las tuberías por donde viaja el líquido:

El volumen del líquido que fluye es el mismo en la unidad de tiempo.

Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli, se puede considerar como una apropiada declaración del principio de la conservación de la energía, para el flujo de fluidos. El comportamiento cualitativo que normalmente evocamos con el término "efecto de Bernoulli", es el descenso de la presión del líquido en las regiones donde la velocidad del flujo es mayor. Este descenso de presión por un estrechamiento de una vía de flujo puede parecer contradictorio, pero no tanto cuando se considera la presión como una densidad de energía. En el flujo de alta velocidad a través de un estrechamiento, se debe incrementar la energía cinética, a expensas de la energía de presión.

Cálculo de Bernoulli

El cálculo en el "mundo real", de la presión en un estrechamiento de un tubo, es dificil de hacer debido a las pérdidas por viscosidad, turbulencia, y presunciones que se deben hacer sobre el perfil de la velocidad (que afectan a la energía cinética calculada). El modelo de cálculo de aquí, asume un flujo laminar (sin turbulencia), tambien asume que la distancia del diámetro mayor al menor es suficientemente pequeña para despreciar las pérdidas por viscosidad y asume que el perfil de la velocidad sigue el del flujo laminar teórico. En concreto, esta asumiendo que la velocidad de la corriente efectiva es la mitad de la velocidad máxima, y que la densidad media de energía cinética está dada por un tercio de la densidad de energía cinética máxima.

Ahora bien, si puede tragar todos esos supuestos, se puede modelar el flujo en un tubo *. Cuando el caudal de volumen es = cm³/s y la densidad de fluido es ρ = gm/cm³. Para un área del tubo de entrada A₁= cm² (radio r₁ =cm), la geometría del fluido nos conduce a una velocidad efectiva de flujo de v₁ =cm/s. Puesto que la ecuación de Bernoulli incluye la energía potencial del fluido así como la altura del tubo de entrada, especificada como h₁ = cm. si el área del tubo se estrecha a A₂=cm² (radio r₁ = cm), entonces, sin mas supuestos, la velocidad efectiva de fluido en el estrechamiento debe ser v₂ = cm/s. La altura del tubo estrecho se especifica como h₂ = cm.

Ahora se puede calcular, la densidad de energía cinética en los dos lugares del tubo, y aplicando la ecuación de Bernoulli, con la limitación de conservar la energía en el proceso, nos da así un valor para la presión en el estrechamiento. Primero, especificamos una presión en el tubo de entrada:
Presión de entrada = P₁ = kPa = lb/in² = mmHg = atmos.
Se pueden calcular ahora las densidades de energía. La unidad de energía usada en el sistema CGS es el ergio.

Densidades de energía en el tubo de entrada Densidad de energía cinética = erg/cm3 Densidad de energía potencial = erg/cm3 Densidad de energía de presión = erg/cm3

Densidades de energía en el estrechamiento del tubo Densidad de energía cinética = erg/cm3 Densidad de energía potencial = erg/cm3 Densidad de energía de presión = erg/cm3

La densidad de energía de presión en el estrechamiento del tubo, se puede convertir finalmente en unidades de presión mas convencionales, para ver el efecto del estrechamiento del flujo, sobre la presión del fluido:

Presión calculada en el estrechamiento =
P₂= kPa = lb/in² = mmHg = atmos.

Este cálculo puede dar la perspectiva de la energía que participa en el flujo de fluido, pero su precisión es siempre sospechosa, debido a la suposición de flujo laminar. Para condiciones típicas en la entrada, la densidad de energía asociada con la presión, será dominante en el lado de la entrada, después de todo vivimos en el fondo de un mar atmosférico que aporta una gran cantidad de energía de presión. Si se usa una reducción suficientemente grande del radio, para producir una presión en el estrechamiento, que sea menor que la presión atmosférica, es casi seguro que se producirá alguna turbulencia en el flujo dentro del estrechamientot. Sin embargo, el cálculo puede mostrar por qué podemos obtener una cantidad significativa de succión (presión inferior a la atmosférica), con un aspirador montado sobre una boquilla de alta presión. Estos dispositivos constan de un tubo de metal de radio reducido, con un tubo lateral introducido dentro de la región del estrechamiento, para la succión.
 Curva en una Pelota de Béisbol

Una pelota de béisbol no giratoria o estacionaria, sobre una corriente de aire, mostrará un flujo simétrico. Una pelota de béisbol que se lance con giro, se curvará porque uno de sus lados, experimentará una presión reducida. Esto es interpretado comunmente, como una aplicación del principio de Bernoulli, e implica la viscosidad del aire y la capa límite del aire en la superficie de la bola.

¡La rugosidad de la superficie de la bola y los cordones de la pelota son importantes! Con una bola perfectamente lisa, no se consigue interacción con el aire.

Hay algunas dificultades con la imagen de esta curva de béisbol. La ecuación de Bernoulli en realidad no se puede utilizar para predecir la cantidad de curvatura de la pelota, el flujo del aire es compresible, y no se puede seguir los cambios de densidad para cuantificar el cambio en la presión efectiva. El trabajo experimental de Watts y Ferrer con pelotas de béisbol en un túnel de viento, sugiere otro modelo que da atención destacada a la capa límite de aire girando alrededor de la pelota de béisbol. En el lado de la bola, en donde la capa límite se está moviendo en la misma dirección que la velocidad de la corriente de aire libre, (en la figura en la parte de abajo de la pelota) esta capa límite está más cerca de la bola antes de separarse en un flujo turbulento. Por el lado donde la capa límite, se opone al flujo libre de aire, (lado superior en la figura), tiende a separarse prematuramente. Estas dos acciones conjuntamente, proporciona una desviación neta del flujo de aire en una dirección por detras de la pelota, y por lo tanto por la tercera ley de Newton, una fuerza de reacción sobre la pelota en la dirección opuesta. Con esto se da un fuerza efectiva en la dirección que se indica arriba.

TUBO VENTURI

¿QUÉ ES Y CÓMO FUNCIONA?

Para medir el gasto que circula en un conducto se utilizan varios procedimientos. Cuando el conducto es un tubo, es frecuente utilizar lo que se llama medidor de agua de Venturi.

Este medidor reemplaza la medida del gasto por la medida de una diferencia de presiones. El medidor de Venturi consiste en dos troncos de cono unidos por un tubo y éste a su vez esta conectado a la conducción por otro tubo, este tubo contiene mercurio y constituye un manómetro diferencial que determina la diferencia de presiones entre esos dos puntos.

Por lo general es una pieza fundida formada por una porción corriente arriba del mismo tamaño que la tubería, forrada de bronce y provista de un anillo piezométrico para medir la presión estática; una región cónica convergente; una garganta cilíndrica forrada de bronce y provista de otro anillo piezométrico; y una sección cónica gradualmente divergente forrada de bronce, la cual desemboca en una sección cilíndrica del tamaño de la tubería. Un manómetro diferencial está conectado a los dos anillos piezométricos. El tamaño del medidor Venturi se da con el diámetro de la tubería y la garganta; por ejemplo, un medidor Venturi de 6 * 4 in puede ser instalado en una tubería de 6” y tiene una garganta de 4”. Para obtener resultados adecuados el medidor Venturi debe ser precedido al menos por una longitud de 10 diámetros de tubería recta. En el flujo de la tubería a la garganta la velocidad aumenta mucho y la presión disminuye en forma correspondiente. Se demuestra que la magnitud de la descarga para flujo incompresible es función de la lectura del manómetro.

Las presiones en la sección corriente arriba y en la garganta son presiones reales  y las velocidades de la ecuación de Bernoulli son velocidades teóricas.  Si se consideran pérdidas en la ecuación de energía entonces las velocidades serán reales.

FÓRMULAS

En el caso de la hidráulica en donde se tiene en cuenta las pérdidas por fricción, lo más conveniente es desarrollar una ecuación que las contenga.

Después de hacer unos cálculos y unas simplificaciones se puede llegar a las siguientes ecuaciones que hacen más práctica y rápida la resolución de     cierto tipo de problemas.

Q = K ( 12.6 h – H_f )^1/2

K = S_E [ 2 g / (( d_E / d_G )⁴ – 1)]^1/2

S_E = 0.7854 * d_E²

d_G = Diámetro en la garganta

d_E = Diámetro en la tubería de conducción

h = Diferencia de nivel en el manómetro ( se expresa en metro de mercurio)

H_f = Pérdidas por frotamiento ( se expresa en m )

Es prudente tener en cuenta que esta ecuación se trabaja en el sistema internacional ( m, s ) y que el líquido manométrico es el mercurio. Las pérdidas de fricción se reportan en unidades de longitud ( m ) puesto que se tratan como una disminución en la cabeza de presión. Esta ecuación se trabaja para flujo incompresible. La descarga depende de la diferencia manométrica sin importar la orientación del medidor de Venturi; no es relevante si el medidor está colocado horizontal, vertical o inclinado.

PRINCIPALES PROBLEMAS

A continuación se presentan dos problema para ilustrar mejor el uso de estas ecuaciones:

DETERMINACIÓN DE CAUDAL

Un medidor de agua de Venturi que tiene un diámetro de 4” en la garganta, está instalado en una tubería de conducción de 12”. En el manómetro diferencial la columna de mercurio sube hasta marcar una diferencia de nivel de 33 cm, habiendo una pérdida por 0.28 m. ¿ cuánto vale el gasto en el medidor ? 

Solución:

Como datos se tiene:

d_G = 4 pulgadas

d_E = 12 pulgadas

h = 0.33 m Hg

H_f = 0.28 m

Se calcula primero el valor de la constante K:

K = S_E [ 2 g / (( d_E / d_G )⁴ – 1)]^1/2

Se tiene : d_E / d_G = 12 / 4 = 3

Sustituyendo:

(19.6 / (81 –1))^1/2  = 0.495

Por otro lado:

S_E = 0.7854 * d_E² = 0.073 m²

K = 0.073 * 0.495 = 0.0361

12.6 h = 12.6 * 0.33 = 4.158 ; ( 4.158 – 0.28)^1/2 = 1.97

Por lo tanto :

Q = 0.0361 * 1.97 = 0.0711 m³ / s = 71.1 lt / s

DETERMINACIÓN DE PÉRDIDAS POR FRICCIÓN

Un medidor de agua de Venturi que tiene un diámetro de 4” en la garganta, está instalado en una tubería de conducción de 16”. En el manómetro diferencial la columna de mercurio sube hasta marcar una diferencia de nivel de 42 cm, habiendo un gasto de 0.080 m³ / s. ¿ cuánto vale la pérdida por fricción en el medidor ?

Solución:

Como datos se tiene:

d_G = 4 pulgadas

d_E = 16 pulgadas

h = 0.42 m Hg

Q =  0.080 m³ / s

Se calcula primero el valor de la constante K:

K = S_E [ 2 g / (( d_E / d_G )⁴ – 1)]^1/2

Se tiene : d_E / d_G = 16 / 4 = 4

Sustituyendo:

(19.6 / (256 –1))^1/2  = 0.277

Por otro lado:

S_E = 0.7854 * d_E² = 0.130 m²

K = 0.130 * 0.277 = 0.0360

12.6 h = 12.6 * 0.42 = 5.292

Por lo tanto :

Q = K ( 12.6 h – H_f )^1/2 ; H_f = 12.6 h – (Q / K)²

H_f = 5.292 – 4.938 =  0.354 m

BIOGRAFÍA

GIOVANNI BATTISTA VENTURI

Físico italiano ( Bibiano 1746 – Reggio Emilia 1822). Profesor en Módena y Pavia. En 1813 se dedico a las investigaciones de física. En este ámbito se ocupó en particular de los colores y varias cuestiones de óptica, no obstante, es singularmente reconocido por sus estudios en el campo de la hidráulica.

Mostró en 1797 que la contracción del flujo a la entrada de un tubo cilíndrico, ocasionaba: reducción local de la presión y generación de remolinos. El reemplazo del cilindro por dos secciones cónicas, la cual llamó tobera de conos divergentes y que luego sería llamada como tubo venturi en su honor, elimina los remolinos y por lo tanto incrementa el flujo.  

GRÁFICOS

 

Tubo venturi