CINEMATICA

 

EN CINEMÁTICA DISTINGUIMOS LAS SIGUIENTES PARTES:

Ø Cinemática de la partícula

Ø  Cinemática del sólido rígido

La magnitud vectorial de la Cinematica fundamental es el "desplazamiento" Δs, que experimenta un cuerpo durante un lapso Δt. Como el desplazamiento es un vector, por consiguiente, sigue la ley del paralelogramo, o la ley de suma vectorial. Asi si un cuerpo realiza un desplazamiento "consecutivo" o "al mismo tiempo" dos desplazamientos 'a' y 'b', nos da un deslazamiento igual a la suma vectorial de 'a'+'b' como un solo desplazamiento.

Dos movimientos al mismo tiempo entran principalmente, cuando un cuerpo se mueve respecto a un sistema de referencia y ese sistema de referencia se mueve relativamente a otro sistema de referencia. Ejemplo: El movimiento de un viajero en un tren en movimiento, que esta siendo visto por un observador desde el terraplén. O cuando uno viaja en coche y observa las montañas y los arboles a su alrededor.

                TRAYECTORIA DE UNA PARTICULA.

DEFINICION.- Es la figura geométrica (recta o curva) que resulta de unir las diferentes posiciones que ocupa el cuerpo durante su movimiento

Sistemas de referencia.

El estado de reposo o movimiento de un cuerpo depende del sistema de referencia utilizado para su observación. Hay dos sistemas de referencia:

·        Absoluto: el sistema de referencia se encuentra en reposo.

·        Relativo: dicho sistema de referencia se encuentra en movimiento.

En realidad no existen sistemas e referencia absolutos, ya que todo cuerpo siempre esta en movimiento y por tanto, todos son relativos.

Trayectoria.

La trayectoria de un móvil es el camino que describe durante su movimiento, Dependiendo del tipo de trayectoria, el movimiento puede ser rectilíneo o curvilíneo:

·        Rectilíneo: se dice que es rectilíneo cuando la trayectoria es una línea recta.

·        Curvilíneo: se dice que es curvilíneo cuando la trayectoria es una curva.

Posición.

La posición sirve para determinar en cada instante, el punto sobre la trayectoria donde se encuentra el móvil.

·        Vector posición: la posición de un móvil sobre una trayectoria se puede definir mediante el vector posición. Este vector es constituido por un punto p del plano, el cual se determina mediante sus distancias mínimas a dos ejes de coordenadas cartesianas, llamadas coordenadas de posición del punto.

Desplazamiento.

El desplazamiento efectuado por un móvil sobre la trayectoria es la diferencia entre su posición final y su posición inicial.

                  ∆e = s - s_◦

·        Vector desplazamiento: es útil definir un desplazamiento vectorial cuando se describe la posición de un móvil por medio de subvectores de posición.

Si r◦ es el vector de posición del punto P_◦ y r es el vector de posición de P en vector desplazamiento se calcula como:

∆r = r - r_◦

Espacio recorrido.

Es la distancia recorrida medida sobre la trayectoria. Si un móvil parte de una posición inicial y llega hasta una final sin cambiar de sentido, el espacio recorrido coincide con el valor absoluto del desplazamiento.

              e = incremento de e

Cuando se da ese caso el espacio recorrido coincide numéricamente con el desplazamiento, siempre y cuando el móvil no cambie de sentido.

Velocidad media.

La velocidad media escalar de un móvil es el cociente entre el espacio recorrido sobre la trayectoria y el tiempo empleado en ello.

 Velocidad media = e / ∆t

·        Calculo vectorial: el vector velocidad media o velocidad media vectorial de u móvil es el cociente entre su vector desplazamiento y el tiempo empleado por el móvil.

           v = ∆r / ∆t

Velocidad instantánea.

La velocidad instantánea de un móvil es la que posee en un punto de su trayectoria. Este valor numérico se denomina celeridad o rapidez.

Aceleraciones.

La aceleración es la magnitud que indica cuanto cambia la velocidad por unidad de tiempo. Como la velocidad es un vector, su variación puede afectar a su modulo, dirección o ambas cosas.

·        Aceleración media: la aceleración media de un móvil en un intervalo de tiempo es la variación de su velocidad en ese tiempo.

      a= v - v_◦ / ∆ t

·        Aceleración instantánea: es la que posee un móvil en un punto de su trayectoria es el límite ∆v / ∆t de cuando tà0

Clasificación de los movimientos.

·        Movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.): un móvil posee un m.r.u cuando se desplaza con rapidez constante sobre una trayectoria recta. Su a = 0 y su v = cte. En este caso la velocidad media coincide siempre con la instantánea, y se puede describir la ecuación vectorial:

            r = r_◦ + v·(t-t_◦)

Una forma de representar un movimiento rectilíneo uniforme es mediante una gráfica S-T, la gráfica que representa dicho movimiento es siempre una recta.

·        Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.): un móvil posee m.r.u.a cuando se desplaza  con aceleración constante, por tanto la aceleración media concibe con la instantánea. Aceleración = cte. pero distinto de 0.

        v= v_◦ + a · (t - t_◦)

·        Movimiento circular (m.c.): son aquellos que tienen por trayectoria una circunferencia de radio R. R = cte. y a distinta de 0

En estos casos:

-         el modulo del vector posición permanece constante.

-         el espacio recorrido por el móvil es siempre un arco de circunferencia.

-         el vector velocidad es siempre perpendicular al vector posición.

·        Magnitudes angulares:

-         medida de radianes: la medida de radianes de un ángulo es el cociente entre el arco correspondiente y el radio R de la circunferencia de la que forman parte.

-         velocidad angular media: la velocidad angular media de un movimiento es el ángulo girado por el vector posición del móvil en la unidad de tiempo, se expresa en rad/s.

    w = ∆a / ∆ t

La relación entre la velocidad angular media y la velocidad lineal media es:

       v = R * w

·        Movimiento circular uniforme (m.c.u.)

Un movimiento circular es uniforme si se efectúa con movimiento angular constante. La velocidad media instantánea coincide con la velocidad angular media. a distinto de 0

Periodo (T): es el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta completa ( se mide en S).

                              T = 2 p / w

Frecuencia (f): es el numero de vueltas por segundo que da un móvil (se mide en hz).

                             f = w / 2p

·        Movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a.):

a = cte. La aceleración angular de un móvil es a = (w - w_o) / (t - t_o)

Un movimiento si se efectúa con aceleración angular constante. En este caso la aceleración angular media coincide con instantánea.

La aceleración en los movimientos curvilíneos.

En los movimientos con trayectoria curvilínea, la variación mas general de la velocidad es el modulo de dirección.

·        aceleración tangencial: se debe a la variación del modulo o valor numérico de la velocidad. Su dirección es tangente a la trayectoria.

·        Aceleración normal: se debe a la variación de la dirección de la velocidad, y  por tanto siempre existe en los movimientos curvilíneos. Su dirección es perpendicular a la trayectoria.

           a = v² * R

Movimientos Unidimensionales

El movimiento unidimensional es aquel en el que el móvil está obligado a desplazarse siguiendo una línea determinada. Se distinguen dos tipos de movimientos, a saber:

1. Movimiento Horizontal: Es aquel en el que el móvil se desplaza en línea recta en sentido horizontal, a lo largo del eje x. Ejemplos de este movimiento pueden ser:

• Vehículos desplándose a velocidad constante.
• Carros, trenes, etc. acelerado.
• Carros, trenes, etc. frenado.

2. Movimiento Vertical: Es aquel en el que el móvil se desplaza en línea recta en sentido vertical, a lo largo del eje y. Ejemplos de este movimiento pueden ser:

• Globo Aerostático.
• Paracaídas.
• Lanzamientos verticalmente ascendentes y descendentes.

En función de la variación de la velocidad, el movimiento puede ser rectilíneo uniforme (M.R.U.) y rectilíneo uniformemente variado

  Movimiento unidimensional asombró al hombre por siglos. De hecho no fue hasta el trabajo de Gali-leo (Galileo Galilei, italiano, 1564-1642) que el hombre empezó a describir adecuadamente el movimiento de los cuerpos. Para ilustrar el estado de las cosas en los tiempos remotos, basta recordar la célebre paradoja de Cenote Aquiles y la tortuga. De acuerdo a Seno, Aquiles nunca podría alcanzar una tortuga porque para hacerlo primero tendría que alcanzar el punto de donde la tortuga partió. Sin embargo al alcanzarlo, la tortuga se habría movido alguna cantidad, estando de nuevo las cosas igual que al empezar. Este proceso debería ser entonces repetido un número infinito de veces de modo que Aquiles nunca alcanzaría la tortuga .Para la descripción del movimiento, Galileo debió asignar números para medir los conceptos de posición y tiempo, cuestión no fácil aquellos tiempos, por la ausencia de instrumentos adecuados para ello.

Movimiento unidimensional.

Para el movimiento de un cuerpo en una línea recta, la posición del cuerpo puede ser indicada por una variable numérica x llamada suposición respecto algún origen en esa recta. Esa variable indica la distancia del cuerpo al origen expresada en alguna unidad de medida, hoy en día esa unidad es el metro. Se dice que el cuerpo se mueve si dicha variable, denominada coordenada de posición, varía con el transcurso de tiempo. Considere por ejemplo que un cuerpo se mueve de modo que su coordenada de posición x varía con el tiempo de acuerdo al grafico siguiente .La curva de forma parabólica nos indica donde está el cuerpo sobre el eje X en cada tiempo, en particular nos dice que el cuerpo estuvo en el origen.

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Ecuaciones

Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones:

e = eo + vo·t + ½·a·t²

vf = vo + a·t

e es el desplazamiento del móvil
e_o es la posición inicial
t es el intervalo de tiempo que estamos considerando
v_o es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo)
v_f es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo)
a es la aceleración
Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando:
Si el móvil parte del orígen de coordenadas
Significa que la posición inicial e_o del cuerpo es cero. En este caso la ecuación del desplazamiento podemos escribirla así:

e = vo·t + ½·a·t²

Si el móvil parte del reposo
Esto quiere decir que la velocidad inicial es cero. Al sustituir este valor en las ecuaciones anteriores, queda:

e = ½·a·t²

vf = a·t

Si el movimiento es uniforme
Es el movimiento de velocidad constante, es decir el movimiento con aceleración cero.
Al dar valor 0 a la aceleración, las ecuaciones del principio quedan así:

e = vo·t

vf = vo

Ya habrás notado que no se trata de ecuaciones diferentes sino de las mismas ecuaciones adaptadas a dos casos concretos, por tanto no es necesario que aprendas de memoria todas las ecuaciones: con las dos primeras y un análisis de la situación tienes suficiente.

 EJEMPLO

Comenzamos haciendo un esquema informativo de la situación física, que aparece un poco más abajo.
El segundo paso consiste en identificar los datos que nos proporcionan. Observa que la velocidad final v_f es cero porque nos dicen que la moto se detiene. La velocidad inicial v_o de la moto es +25 m/s porque esa es la velocidad al inicio del movimiento que estamos estudiando (el movimiento de frenado). La aceleración a es -5 m/s². Presta mucha atención a los signos + y - que tienen las magnitudes.
El siguiente paso es saber qué queremos calcular. En nuestro caso, tenemos que determinar el desplazamiento e de la moto mientras frena.
A continuación tienes el resultado de los tres primeros pasos:

Esquema:

Datos:  vo = +25 m/s  vf = 0 m/s a = -5 m/s²

Buscamos: e = ?

El cuarto paso consiste en decidir con qué ecuación podemos calcular lo que nos piden y comprobar si tenemos todos los datos que necesitamos. En nuestro caso usaremos la ecuación:

e = vo·t + ½·a·t²

Observa que no podemos calcular e hasta que conozcamos el tiempo t que dura la frenada. Lo podemos calcular con la otra ecuación:

vf = vo + a·t

Si sustituimos los valores conocidos de v_f, v_o y a, tenemos:
0 = 25 m/s + (-5) m/s²·t
-25 m/s = -5 m/s²·t
t = -25 m/s / -5 m/s² = 5 s Una vez calculado el tiempo que dura el movimiento, procedemos a determinar el desplazamiento:

e = 25 m/s · 5s + ½ (-5)m/s²·(5s)²
e = 125 m - 62,5 m = 62,5 m

e = 62,5 m

Hemos llegado a la conclusión de que la moto recorre 62,5 m durante el proceso de frenada.
El último paso consiste en comprobar que la solución que damos es correcta y razonable. La solución, en este caso, representa el desplazamiento que realiza la moto desde que se pisa el freno hasta que se detiene. Parece razonable que si se circula a 90 km/h (25 m/s), la distancia necesaria para detener la moto sea aproximadamente las dos terceras partes de un campo de fútbol, similar a la que nosotros hemos obtenido.
Para comprobar si los cálculos matemáticos son correctos, sustituye los valores de t y de e que hemos calculado en ambas ecuaciones del movimiento y comprueba que la parte izquierda de cada ecuación sea igual que la derecha.